Question

Se consideră ecuația x la 2+3x-5=0 cu soluțiile x1 și x2. Sa se calculeze:
1) x1 la 2+x2 la 2
2)x1 la 3+ x2 la 3
3)x1 la 4+x2 la 4​

Answer 1

$x^2+3x-5 = 0\\ \\ 1)\quad x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = \left(-\dfrac{3}{1}\right)^2-2\cdot \dfrac{-5}{1} =\\=9+10 = \boxed{19}$

$2)\quad x^2+3x-5 = 0\Big|\cdot (x\neq 0)\Rightarrow x^3+3x^2-5x = 0\\\\(x_1^3+x_2^3)+3(x_1^2+x_2^2)-5(x_1+x_2) = 0\\\\ \Rightarrow x_1^3+x_2^3 = \\ \\ =-3(x_1^2+x_2^2)+5(x_1+x_2)\\ \\= -3\cdot 19+5\cdot (-3) = -72$

$\\3)\quad x^2+3x-5 = 0\Big|\cdot (x^2\neq 0) \Rightarrow x^4+3x^3-5x^2 = 0\\ \\ \Rightarrow x^4 = -3x^3+5x^2\\ \\ x_1^4+x_2^4 =\\ \\ = -3(x_1^3+x_2^3)+5(x_1^2+x_2^2)\\ \\ =-3\cdot (-72)+5\cdot 19\\ \\ = 216+95\\ \\ = \boxed{311}$