Question

Se considera ecuatia x²-3x-1=0 cu solutiile x1,x2. Se noteaza cu Sn=x1(la puterea n) + x2(la puterea n) pentru n ∈ N*.
a) Sa se rezolve ecuatia.
b) Sa se scrie relatiile lui Viete si sa se calculeze S2, S3.
c) Sa se calculeze x1/x2+1 + x2/x1+1
d) Sa se demonstreze egalitatea Sn+2 = 3Sn+1 + Sn, oricare ar fi n ∈ N* si sa se arate ca Sn ∈ N, oricare ar fi n ∈ N*
PS. Punctele a, b si c le-am rezolvat

Answer 1

b)$S_{1} = x_{1} + x_{2} =3 \\ S_{2}=x_{1} * x_{2} =-1$
c)$\frac{ x_{1} (x_{1} +1)+x_{2} (x_{2} +1)}{(x_{1} +1)(x_{2} +1)} = \frac{x_{1} ^2+x_{2} ^2+x_{1}+x_{2} }{x_{1}+x_{2} +x_{1}*x_{2} +1} = \frac{(x_{1}+x_{2} )^2-2x_{1}x_{2} +x_{1}+x_{2} }{3-1+1} = \\ = \frac{3^{2} +2+3}{3} = \frac{14}{3}$
d)$x_{1}^2-3 x_{1} -1=0$
o inmultim cu $x_{1} ^n$
ecuatia devine:
$x_{1}^n x_{1} ^2+3 x_{1} x_{1} ^n- x_{1}^n=0$
acelasi lucru facem si pentru x2, apoi adunam cele 2 relatii 
[tex] x_{1}^n x_{1}^2 + x_{2}^n x_{2}^2 -3 ( x_{1} x_{1}^n+x_{2} x_{2}^n)- (x_{1}^n+x_{2}^n)=0 \\ \\ x_{1}^{n+2} +x_{2}^{n+2}-3 (x_{1}^{n+1}+x_{2}^{n+1})-S_{n} =0 \\ \\ S_{n+2} -3 S_{n+1} - S_{n} =0 \\ \\ S_{n+2} =3 S_{n+1} +S_{n}[/tex]