Question

Se consideră expresia E(x) = 2(2x-3)² - 3(2x + 1)(x-2)-(x-2)² + 5x-11, unde x este un număr real.
a) Arată că E(x) = (x-3)2, pentru orice număr real x.
b) Demonstrează că numărul A = E(n+3)- E(n+1) este divizibil cu 4, pentru orice număr natural nenul n.​

Answer 1

Răspuns:

a)

Se deschid parantezele, se fac calculele și se ajunge la forma E(x) = (x-3)²

b)

E(n+3) - E(n+1) se scrie ca produs, iar unul dintre factori este 4.

E(n+3) - E(n+1) = 4(n - 1) - ceea ce înseamnă că E(n+3) - E(n+1) este divizibil cu 4

Explicație pas cu pas:

a)

E(x) = 2(2x-3)² - 3(2x+1)(x-2) - (x-2)² + 5x - 11

E(x) = 2(4x² - 12x + 9) - 3(2x² - 3x - 2) - (x² - 4x + 4) + 5x - 11

E(x) = 8x² - 24x + 18 - 6x² + 9x + 6 - x² + 4x - 4 + 5x - 11

E(x) = x² - 6x + 9

E(x) = (x-3)²

b)

Ne folosim de rezultatul de la punctul a: E(x) = (x-3)²

E(n+3) - E(n+1) = (n + 3 - 3)² - (n + 1 - 3)²

E(n+3) - E(n+1) = n² - (n - 2)²

E(n+3) - E(n+1) = n² - (n² - 4n + 4)

E(n+3) - E(n+1) = n² - n² + 4n - 4

E(n+3) - E(n+1) = 4n - 4

E(n+3) - E(n+1) = 4(n - 1) - ceea ce înseamnă că E(n+3) - E(n+1) este divizibil cu 4