Question

Se considera expresia E(x)=(2x-1)^2-2(x-2)(x+1)-(x+1)^2, unde x este numar real.Demonstrati ca ,pentru oirce numar natural nenul n , numarul N=E(2n+1)-E(2n-1) este multiplu a lui 8.

Va rog mult ajutati-ma la acest exercițiu, dau coroană!!​

Answer 1

Răspuns:

E(x)=(2x-1)²-2(x-2)(x+1)-(x+1)² (aduci expresia la forma cea mai simpla, adica calculezi ce este in parateze).

E(x)=4x²-4x +1 -2x² + 2x +4 -x²-2x+1  (am calculat mai direct)

E(x)= x²-4x + 4

E(x)= (x-2)²

N=E(2n+1)-E(2n-1)(il inlocuiesti pe x in expresia ta cu cele doua numere date)

N= (2n +1 -2)²- (2n-1-2)²

N= (2n-1)² - (2n-3)²   (observa formula de calcul prescurtat)

N= ((2n-1+2n-3)(2n-1-2n+3))

N= (4n-4)2

N= 8n-8  (dai factor comun pe 8)

N= 8(n-1) = > numarul N=E(2n+1)-E(2n-1) este multiplu a lui 8.

Answer 2

$E(x) = (2x-1)^2-2(x-2)(x+1)-(x+1)^2$

$=(4x^2-4x+1)-2(x^2-x-2)-(x^2+2x+1)$

$= (4x^2-2x^2-x^2)+(-4x+2x-2x)+1+4-1$

$= x^2-4x+4$

$=(x-2)^2$

$\\\\E(2n+1)-E(2n-1)=$

$=(2n+1-2)^2-(2n-1-2)^2$

$= (2n-1)^2-(2n-3)^2$

$= \big[(2n-1)-(2n-3)\big]\big[(2n-1)+(2n-3)\big]$

$= (2n-1-2n+3)(2n-1+2n-3)$

$=2\cdot (4n-4)$

$=2\cdot 4\cdot (n-1)$

$= 8(n-1)$

$= M_{8},\,\,\,\forall n\in \mathbb{N}^*$