Question

Se consideră expresia E(x)=(2x-1)²-x²-(x+1)², x∈R
Dacă n este un numar natural,arătați ca E(n) este numar natural divizibil cu 4.

Ofer 75 de puncte... multumesc mult!

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Vom folosi formula :

                          (a+b)²=a²+2·a·b+b²

                           (a-b)²=a²-2·a·b+b²

E(x)=(2·x-1)²-x²-(x+1)²

E(x)=(2·x)²-2·2x·1+1²-x²-(x²-2·x·1+1²)

E(x)=4·x²-4·x+1-x²-x²+2·x-1

E(x)=2·x²-6·x

E(x)=2·x·(x-3)

Criteriul de divizibilitate cu 4:

Un număr este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale numărului formează un număr divizibil cu 4.

E(x)=2x(x-3)

x=1 ⇒ E(1)=2·(-2)=-4  div cu 4

x=2⇒E(2)=2·2·(-1)=-4  div cu 4

x=3⇒E(3)=2·3·0=0 div cu 4

x=4⇒E(4)=2·4·1=8 div cu 4

-----------------------------------------

x=n⇒E(n)=2n(n-3)   div cu 4

daca n este numar par⇒2n·(n-3)=2·2k·(2k-3)=4m =>  4 | E(n)

daca n este numar impar ⇒n=2k+1=>2n·(n-3)=2·(2k+1)(2k-2)=

2·2·(k-1)·(2k+1)=4p =>4 | E(n)