Question

Se consideră expresia E(x)=(x+1/x - x/x+1) : (1/x^2 - 1/(x+1)^2), unde x aparține lui R \ {-1,0}.
Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n, E(n) este un număr par.

Answer 1

Dupa efectuarea calculelor din paranteze se ajunge la E(n)=n(n+1)
Se verifica paritatea expresiei in functie de n: orice numar n poate fi ori par ori impar.
Daca n este numar par, n se poate scrie sub forma n=2k si atunci inlocuind obtinem  E(n)=2k(2k+1), care se imparte la 2 (unul din factori e 2), Deci E(n) este numar par
Daca n este numar impar, n se poate scrie sub forma n=2k+1 si atunci inlocuind obtinem  E(n)=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1), care se imparte la 2 (unul din factori e 2), Deci E(n) este numar par

In concluzie, E(n) e numar par pt orice n natural.