Question

Se considera expresia E(x)=(x+2)²+(x-3)²-(x-1)(x+2)-(3x+7), unde x∈R.
a) Calculeaza E(3)
b)Demonstreaza ca E(k) este un numar intreg divizibil cu 8, pnetru orice numar intreb par k

Rezolvare completa pls

Answer 1

Răspuns:

Explicație:

a)

E(3) = (3+2)²+(3-3)²-(3-1)(3+2)-(3*3+7) = 5²+0²-2*5-(9+7) = 25+0-10-16 = 25-26 = -1

b)

E(k) = (k+2)²+(k-3)²-(k-1)(k+2)-(3k+7) = k²+2*2k+2²+k²-2*3k+3²-(k²+2k-k-2)-3k-7 = k²+4k+4+k²-6k+9-k²-k+2-3k-7 = k²+4k-10k+15-7 = k²-6k+8

k este un numar intreg par: k = 2p, ∀ p∈Z

$E(p) = (2p)^{2}-6*2p+8 = 4p^{2}-12p+8 = 4(p^{2}-3p+2) = 4(p-1)(p-2)$

deoarece (p-1)(p-2) este un produs de doua numere consecutive ⇒ este divizibil cu 2

atunci: E(p) este divizibil cu 4*2 = 8

⇒ E(k) este un numar intreg divizibil cu 8, pentru orice numar intreg par k

q.e.d.