Question

Se considera expresia (in poza), unde x este numar real. a) Arata ca E(x)=-2x-6
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Pentru a arăta că E(x) = -2x - 6, vom înlocui x^2 + 2x + 1 cu (x + 1)^2 în expresia dată, astfel:

E(x) = (x^2 + 2x + 1) / (x^2 - 4) - (x^2 + 4x + 4) / (x^2 - 1)

= [(x + 1)^2 / (x - 2)(x + 2)] - [(x + 2)^2 / (x - 1)(x + 1)]

Folosind identitatea (a + b)(a - b) = a^2 - b^2, putem simplifica expresia la numitor:

E(x) = [(x + 1)^2 (x - 1) - (x + 2)^2 (x - 2)] / [(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)]

= [(x^2 - 2x + 1)(x - 1) - (x^2 + 4x + 4)(x - 2)] / [(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)]

= [x^3 - 7x - 6] / [(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)]

Acum, vom încerca să reducem termenul de la numărător la o formă care să includă doar termeni de gradul întâi:

E(x) = [x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + x^2 - 7x - 6] / [(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)]

= [(x^3 - 4x^2 + 3x) - (2x^2 - 3x - 6)] / [(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)]

= [x(x - 3)(x - 1) - 2(x - 3)(x + 1)] / [(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)]

= [(x - 3)(x^2 - x - 2)] / [(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)]

= [(x - 3)(x - 2)(x + 1)] / [(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)]

= (x - 3) / (x^2 - 4)

Observăm că x^2 - 4 este factor comun atât la numărător, cât și la numitor, astfel încât se simplifică:

E(x) = (x - 3) / (x^2 - 4) = (x - 3) / [(x - 2)(x + 2)]

Acum, putem folosi această formă a expresiei pentru a arăta că E(x) = -2x - 6:

E(x) = (x - 3) / [(x - 2)(x + 2)]

= (x - 2 - 1) / [(x - 2)(x + 2)]