Question

Se consideră f:(0,∞)->R,f(x)=(1+x)lnx. Să se arate că f este bijectivă.
Nu inteleg cum sa fac injectivitatea(trebuie sa arat ca functia este strict monotona,dar cum?).
Surjectivitatea stiu sa o fac(fac $\lim_{x-\ \textgreater \ 0} (1+x)lnx$ si la fel pentru infinit).

Answer 1

Am demonstrat ca f este injectiva impartind functia in 2: h (x) si g (x). Explicatia am scris-o pe foaie, h (x) este o functie de gradul I cu coeficientul lui x mai mare decat 0, deci este strict crescatoare. Functia g (x) este o functie logaritmica, cu baza supraunitara, deci este tot o functie strict crescatoare. In concluzie, f este o functie strict crescatoare, ca produs de 2 functii strict crescatoare, deci f este monotona, ca urmare este injectiva. Atentie, rationamentul poate fi aplicat doar atunci cand este produs sau suma de 2 sau mai multe functii elementare care au aceeasi monotonie.