Question

Se considera f:R-{2} ->R, f(x)= {unu supra(x plus doi)} inmultit cu e la puterea modul de x

Cum aflu derivabilitatea functiei in punctul x=0?

Answer 1

f(x ) = 1 /(x + 2)    ·  e^x    
f ' (x )  = (  1 / (x +2)  ) ' ·  e^x  + 1 /(x+2)    · ( e^x  ) '         
                   ↓                                                  ↓
                = - 1 /(x+2) ²                                    = e^x
[1 / ( x + 2) ) ]  ' = [ 1 ' ·( x +2)   - 1 · ( x +2) ' ] /  ( x +2) ²= 
                                  =0                   =1 
                       = - 1 / ( x +2) ²
f ' (x ) = [ -1 + x +2 ]  ·e^x   / ( x +2) ²  
f '(x) =  [  x + 1 ]  ·e^x   / ( x +2) ²  
f '(0 ) =  1  / 4

Answer 2

[tex]f(x)=\frac{1}{x+2}e^{|x|}= \left \{ {\frac{1}{x+2}e^{x},\ x\geq0} \atop {\frac{1}{x+2}e^{-x}},\ x\ \textless \ 0} \right.\\ f'_s(0)=\lim_{x\rightarrow0,x\ \textless \ 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow0,x\ \textless \ 0}\frac{\frac{1}{x+2}e^{-x}-\frac{1}{2}}{x}=-\frac{3}{4} \\ f'_d(0)=\lim_{x\rightarrow0,x\ \textgreater \ 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow0,x\ \textgreater \ 0}\frac{\frac{1}{x+2}e^{x}-\frac{1}{2}}{x}=\frac{1}{4} \\ [/tex]
Deoarece derivatele latereale sunt diferite, functia nu e derivabila in 0.