Question

Se considera f:R->R,f(x) =(3x+1)e^x.
a. aratati ca integrala de la 0 la 1 din 1/e^x f(x) dx=5/2
b. det nr real m ptr cate fctia F:R->R ,F(x) = (3+m)e^x este o primitiva a fctiei f
c.det nr real nenul a stiind ca integrala de la 0 la a din f (x) dx= 3a

Answer 1

a) (3x+1) e^x/e^x=3x+1
 integrala definita din (3x+1) = 3 x^2/2 +x de la 0 la 1= 3/2+1-(0+0)=5/2

b) [(3+m)e^x]'=(3x+1) e^x cum m∈R⇒m+3∈R  ,deci
(3+m)e^x=(3x+1)e^x
3+m=3x+1
numar=functie, absurd , textul problemei , asa cum este postat, e gresit
(ae^x)'=ae^x daca a∈R

Text CORECTAT  pt ca cerinta sa aibe sens
det nr real m ptr cate fctia F:R->R ,F(x) = (3x+m)e^x este o primitiva a fctiei f

[(3x+m)e^x]'= (3x+1)e^x
3e^x+ (3x+m)e^x=(3x+1)e^x.
(3x+m+3)e^x=(3x+1)e^x
3x+m+3=3x+1
m+3=1
m=-2
verificare [(3x-2)e^x]'=3e^x + (3x-2)e^x=(3x+1)e^x

c) stim deja ca o primitiva a functiei este F=(3x-2) e^x
atunci integral definita de la 0 la a  va fi
F(a)-F(0)=(3a-2)e^a-(3*0-2) e^0=
=(3a-2)e^a +2*1
deci

(3a-2)e^a +2*1=3a
(3a-2)e^a=3a-2
(3a-2)e^a-(3a-2)=0

(3a-2)(e^a-1)=0

e^a-1=0
e^a=1 ;a=0 ; dar  conform cerintei, a  trebuie sa fie nenul
atunci 3a-2=0
 a=2/3, Cerinta
Observatie  : avand in vede re rezpolvarea punctuluic) corectarea textului problemei la punctul b) s-a  dovedit justa