Question

Se considera f: R--> R , f (x) = e^x • ( ax^2 +bx+c) .
a) Pentru m = 1 , b= c= 0 sa se calculeze f' (x) .

b) Sa sa determine a , b, c, apartine R stiind ca
f (0) = 0 , f ' (0) = 1 si f * ( 0) = 4 .

Va rog dau coroana ​. @augustindevian

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$f(x) = e^{x} (ax^{2} + bx + c)$

a) Pentru a = 1, b = c = 0 să se calculeze f'(x)

$f(x) = e^{x} (1 \times x^{2} + 0 \times x + 0) = e^{x} {x}^{2}$

=>

$f'(x) = (e^{x} {x}^{2})' = (e^{x})' \times{x}^{2} + e^{x} \times ({x}^{2})'$

unde:

$(e^{x})' = e^{x}$

$({x}^{2})' = 2x$

$= > f'(x) = e^{x} {x}^{2} + 2xe^{x}$

b) Să sa determine a, b, c ∈ R, știind că

f(0) = 0, f'(0) = 1 și f"(0) = 4

$f(0) = e^{0} \times (a \times 0^{2} + b \times 0 + c) = 1(0 + 0 + c) = c$

$=>f(0) = 0 = > c = 0$

rescriem funcția, cu c = 0

$= > f(x) = e^{x}(ax^{2} + bx)$

și calculăm f'(x):

$f'(x) = (e^{x}(ax^{2} + bx))' =(e^{x})'(ax^{2} + bx) + e^{x}(ax^{2} + bx)' = e^{x}(ax^{2} + bx)+ e^{x}(2ax + b) = e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + bx + b)$

$f'(0) = e^{0}(a \times {0}^{2} + 2a \times 0 + b \times 0 + b) = 1(0 + 0 + 0 + b) = b$

$= > f'(0) = 1 = > b = 1$

rescriem funcția f'(x), cu b = 1:

$= > f'(x) = e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + x + 1)$

și calculăm f''(x):

$f''(x) = (e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + x + 1))' = (e^{x})'(a {x}^{2} + 2ax + x + 1) + e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + x + 1)' = e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + x + 1) + e^{x}(2ax + 2a + 1) = e^{x}(a{x}^{2} + 4ax + x + 2a + 2)$

$f''(0) = e^{0}(a \times {0}^{2} + 4a \times 0 + 0 + 2a + 2) = 1(0 + 0 + 0 + 2a + 2) = 2a + 2$

$= > f''(0) = 4 = > 2a + 2 = 4 \\ 2a = 2 = > a = 1$

=> a = 1; b = 1; c = 0