Question

Se consideră f:R->R, f(x) =e^x-x-5
a) Determinati panta tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x=0 situat pe graficul funcției f
b) Demonstrati ca functia f este convexă pe R
c) Demonstrati ca e^x(1-x)<_1
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) f'(x) = e^x -1

Panta in x = 0 este : f'(0) = e^0 - 1 = 1-1 = 0

Deci tgu = 0, u = 0,  tangenta este || cu Ox

b) f"(x) = e^x > 0 pt. x in R, deci f(x) = convexa

c) e^x(1-x) < 1   ( _1  ???)

Fie g(x) = e^x(1-x) = e^x -xe^x

g'(x) = e^x -e^x - xe^x = -xe^x

g'(0) = 0*1 = 0,  x = 0

g(0) = 1(1 -0) = 1    punct de maxim

Deci g(x) < 1