Question

Se consideră f:R->R,f(x)=x^2-x+2/x^2+1.Calculați Im f.

Answer 1

În problema dată ți se cere imaginea unei funții care are următoarea definiție:

$\text{Im} f = \{y\in \mathbb{R} \vert \text{ } \exists x \in \mathbb{R} \text{, } f(x) = y\}$. Sau prin cuvinte omenești, fiecare valoare $y \in \mathbb{R}$, pentru care există($\exists$) un x care la evaluarea funcției $f$ dă $y$, echivalent cu  $f(x) = y$.

Observăm că domeniul de definiție e întreg $\mathbb{R}$, deci trebuie să analizăm ce valori putem obține cu $f$.

Presupunem că $a \in \mathbb{R}$ și de aici aflăm condițiile necesare ca $a$ să se afle în $\text{Im} f$.

$f(x) = a\\\frac{x^2 -x +2}{x^2 + 1} = a\\x^2 - x + 2 = ax^2 + a\\(a-1)x^2 + x + (a - 2) = 0.\\\triangle = 1^2 - 4(a-1)(a-2) = 1 - 4(a^2 -3a + 2) = 1 - 4a^2 + 12a - 8 = -4a^2 + 12a - 7.$

Ca ecuația noastră să aibă soluții în $\mathbb{R}$, trebuie ca discriminantul să fie mai mare sau egal cu 0, cu alte cuvinte, noi impunem anumite condiții pe expresia ce conține pe a, de acolo vom extrapola ce valori poate lua a.

$\triangle \geq 0\\-4a^2 + 12a - 7 \geq 0 \vert (-1)\\4a^2 - 12a + 7 \leq 0 \\\text{Rezolvam ecuatia } 4a^2 - 12a + 7 = 0 \\a_{1, 2} = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4(4)(7)}}{2\cdot4} = \frac{12 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{3\pm \sqrt{2}}{2}\\\text{Avem solutia pentru interval: } a \in [\frac{3 - \sqrt{2}}{2}, \frac{3+\sqrt{2}}{2}]$

Deci $\text{Im} f = \boxed{[\frac{3 - \sqrt{2}}{2}, \frac{3+\sqrt{2}}{2}]}$