Question

Se consideră figura unu dacă AD este Bisectoarea unghiului CAB și ED este Bisectoarea unghiului CEB demonstrați că AD perpendicular pe BC

Answer 1

AD bisectoarea ∡CAB ⇒ ∡CAD=∡BAD

ED bisectoarea ∡CEB⇒ ∡CED=∡BED

Din teorema Bisectoarei ⇒

$\frac{BD}{DC} =\frac{AB}{AC}$

$\frac{BD}{DC}=\frac{EB}{EC}$

Din cele 2 rezulta ca:

$\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC} =\frac{BD}{DC}$   (1)

• De asemenea stim ca AD este bisectoare si orice punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului, in cazul nostru E este egal departat de AB si AC , adica EB=EC

• Daca EB=EC si  $\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC}$ ⇒ $\frac{AB}{AC}=1$ ⇒ AB=AC⇒ ΔABC isoscel

• Daca intr-un triunghi isoscel avem o bisectoare, ea este si inaltime si mediana si mediatoare⇒ AD inaltime⇒ AD⊥BC