Question

se considera fuctiile f,g :R pe R care verifica relatiile:
5f(x)+3f(-x)=x^2-2|x| si
2g(-x)-7g(x)=x^3+x , oricare x apartine R. Care dintre ele este functie para , respectiv impara.

Am mare nevoie de ajutor , daca stiti sa o rezolvati va rog raspundeti!

Answer 1

Obs ; o functie poate fi para, impara, sau nici una nici alta
Pt a studia eventual pariate trebuie sa cunoastem expresia functiei sau o relatie intre f(x) si f(-x)
 Problema ne da 2 ecuatii cu 4 necunoscute\.
 Inseamna ca o cale de rezolvare ar fi sa construim NOI  cele 2  ecuatii necesare

5 f(x)+3f(-x)=x²-2|x|  (1)
atunci
5f(-x) +3 f (-(-x))= (-x)²-2|-x|
 adica
5f(-x)+3f(x)=x²-2|x| (2)
Cu notatiile f(x) =u
                   f(-x) =v si relatiile (1) si (2)
Avem sistemul de 2 ec uatii cu 2 neunoscute

5u+3v=x²-2|x|
3u+5v=x²-2|x|
 scazand a doua relatie din prima avem
2u-2v=0
u-v=0
u=v
f(x) =f(-x) deci , chiar FARA sa cunoastem expresia functiei putem spune ca f(x) este PARA, cerinta pt ca pripietatea obtinuta f(x) =f(-x) este excat definitia functiei pare

2g(-x)-7g(x)=x^3+x  (3)
 vom da lui x valoarea -x
2 g(-(-x)) -7g(-x)= (-x)³ + (-x)
adica
2g(x)-7g(-x)=-x³-x (4)
 cu notatiile g(x) =u si g(-x) =v
 2v-7u=x³+x
 2u-7v=-x³-x
 adunand relatiile obtinem
-5u-5v=0
 u+v=0
 u=-v
g(x) =-g(-x)
esact definitia functiei impare
Deci FARA sa cunoastem expresia functiei, putem spune ca g(x) este IMPARA, cerinta