Question

Se considera functia f:[0,+inf)->R, f(x)=x/(x+1)-ln(x+1)
Aratati ca x/(x+1)<=ln(x+1)

Answer 1

Inegalitatea ceruta este echivalenta cu:

f(x)<=0

Calculam derivata functiei f:

f'(x)=(x/(x+1))'-(ln(x+1))'

f'(x)=1/(x+1)-1/(x+1)=0

Cum derivata este nula in orice punct,rezulta ca minimul functiei este:

f(0)=0

de unde:

f(x)<=f(0)=0

si rezulta concluzia.