Question

Se considera funcția f: ( 0 , + infinit ) -> IR , f(x ) = XIn x - X +1 . a) Arătați ca lim când x tinde la e din ( x ) = 1
b) Arătați că f' ( x ) = In x , x aparține ( 0 , + infinit ).
c) Arătați că f(x)> sau egal decât 0 pentru orice x aparține ( 0 , + infinit )
PE A SI B LE-AM FACUT. MI-A MAI RĂMAS DOAR PUNCTUL C.​

Answer 1

Răspuns:

f(x)=xlnx-x+1

a)x->e limf(x)=lim(xlnx-x+1)=e*lne-e+1=

e*1-e+1=e-e+1=1

b)  f `(x)=x `*lnx+x*ln `(x)-x `+1`=

lnx+x/x-1=lnx+1-1=

lnx

c) determinim punctul de minim rezolvand ecuatia f `(x)=0

lnx=1=>x=1

Pt x<1  logaaritmul e  negativ

Pt x.>1  logaritmul e  pozitiv

Functia  f `(x)  isi scimba semnul de  o  parte si de  alta   a   radacinii =>x=1  este punct  de   extrem

Pt  x∈(01) functia f e descrescatoare

Pt  x>1 functia  f  este cresatoare=> x=1 este punct  de   minim

f(1)=1*ln1-1+1=0+0=0

0 este  valoarea   minima   a   functiei.Deci pt ∀x, f(x)>0

Explicație pas cu pas: