Question

Se considera functia f:(0,+infinit)->R , f(x)=[1/(x+1)]-[1/(x+3)]+1

Sa se determine numarul real pozitiv k astfel încât aria suprafetei plane determinate de graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatii x=0 si x=k sa fie egala cu k+lnk .

Answer 1

Primitiva functiei f o sa aiba forma : F(x) = ln[(x+1)/(x+3)] + x + C
Aria ceruta: F(k) - F(0) = ln[(k+1)/(k+3)] + k - ln(1/3),
atunci ln[(k+1)/(k+3)] + k - ln(1/3) = k + lnk  <=>
 <=> ln[(k+1)/(k+3)] - lnk = ln(1/3),
adica(k+1)/[k(k+3)] = 1/3,
de unde k(k+3) = 3(k+1) => k2+3k = 3k+3 =>=> k = rad(3)  (k > 0)