Question

se considera functia f-(0,+infinit)->R f(x)=(x+1)/e^x. Aratati ca 0<f(x)<1 pentru orice numar real pozitiv.

Answer 1

x+1>0 pt x>0\\
$e^x\ \textgreater \ 0$ pt x>0, deci $f(x)= \frac{x+1}{e^x}\ \textgreater \ 0$ pt orice x>0

$\frac{x+1}{e^x}\ \textless \ 1$ ⇔ $x+1\ \textless \ e^x$ ⇔ $e^x-x-1\ \textgreater \ 0$
Notam g(x)=$e^x-x-1$
g'(x)=$e^x-1$
g'(x)=0 ⇔ e^x=1 ⇔x=0
g(0)=0, iar g'(x)>0 pt orice x>0. Rezulta g(x)>0 pt orice x>0, deci   $e^x-x-1\ \textgreater \ 0$, ceea ce trebuia demonstrat