Question

Se considera functia f:(0,+∞) ⇒ R, f(x) = x² - 8 * ln(x). Demonstrati ca ecuatia f(x) = 0 are doua solutii reale distincte. Cat mai explicit va rog.

Answer 1

f(x)=x²-8lnx
 lim f(x)cand x->∞=∞ pt ca x²>lnx
lim f(x)cand x->0, =0-∞=-∞

f'(x) =2x-8/x=(2x²-8)/x=2(x²-4)/x=2(x-2)(x+2)/x
facem tabelulde variatie al functiei si calculam extremul local pt x=2 (x=-2∉Domeniului)

f(2)=4-8ln2<0 (calculatcu aproximatie ln2<0,69)
deci minim , f(2)<0,  cum e crescatoare pe (2;∞) inseamna ca x²-8lnx=0  va avea 1 (una radacina) , NU doua
vezi fig1


probabil nu ai scris textul bine, iar textul corect este
 (x²-8)*lnx
care are 2 radacini clare una fiind 1,(ln1=0) , 1 care apartine (0;∞) si cealalta fiind pt x²-8=0 x>0 adica x=2√2∈(0,∞)
1≠2√2, solutii distincte