Question

Se considera functia f:(0,+∞)⇒R. ; f(x)=x³$\sqrt{x}$
a) sa se calculeze integrala $\int\limits^2_1 {f(x) \sqrt{x} } \, dx$
b) sa se arate ca functia F:(0,+∞)⇒R. ; F(x)=$\frac{2}{9} x^{4} \sqrt{x} -3$. Este o primitiva a functiei f .

Answer 1

a. ∫ f(x)·√xdx =  ∫x³√x ·√x dx = ∫x³·√x²dx = ∫x³·x dx = ∫x⁴ dx = x⁵  / 5 
numarul = ( 2⁵ - 1⁵ ) / 5 = ( 32 -1) / 5 = 31 / 5 

b.    F ' (x) =( 2/ 9 ·x⁴ x¹ / ² - 3 ) '  = ( 2 /9 x⁴ ⁺ ¹ /²    -   3) ' =
           = 2 /9 · ( 4 + 1 /2)  · x ⁴  ⁺ ¹ /²  ⁻¹  =
          = 2 / 9 · 9 / 2 · x³ ⁺ ¹/² 
            = 2 · 9 / 9 · 2  · x³ · x¹ /² 
              = 18 / 18 · x³  ·√x 
               = x³·√x  = f(x)