Question

Se considera functia f:{-1, 1}->R, f(x)=$f(x)\frac{ x^{2}+x+a}{x^{2}-1 }$

Determinati a apartinand lui r stiind ca graficul functiei f are exact o asimptota verticala.

Answer 1

Hello, pentru a rezolva acest exercitiu, mai intai trebuie sa stim ce e o asimptota, o asimptota este practic interpretarea geometrica a limitei(aceasta nu este o definitie corecta, dar este un mod de a explica), deci o curba este o asimptota a unei functei, daca graficul functiei se apropie de asimptota, dar nu trece de ea.

Asimptota verticala exista, daca exista limita: $\lim_{x \to \"x0} f(x) = infinit$, acum daca numitorul e 0: a/0 = infinit, adica observam pentru ce numere numitorul e 0: $x^{2}$ - 1= 0 <=> x = 1 sau x = -1, deci x0 poate fi 1 sau - 1, in acest caz exista 2 asimptote verticale. Conditia ne spune ca are exact 1 asimptota, deci trebuie sa "scapam" de o asimptota, $x^{2}$ - 1, poate fi factorizat ca: (x - 1)*(x + 1), daca ecuatia de sus: $x^{2}$ + x + a, are ca solutie - 1 sau 1, atunci se vor simplifica factorii, ramanand doar o asimptota:
1) Fie 1 solutia ecuatiei: f(1) = 0 <=> 1 + 1 + a = 0 <=> a = -2, daca a este -2 => $x^{2}$ + x - 2 = (x - 1)*(x + 2), x + 1 se va simplfica.
2) Fie - 1 solutia ecuatiei: f(- 1) = 0 <=> 1 - 1 + a = 0 <=> a = 0, daca a este 0 =>
$x^{2}$ + x = x*(x + 1).

Daca a = - 2, sau a = 0, graficul va avea doar o asimptota.

Daca n-ai inteles, scrie in comentarii, e un subiect complicat!