Question

Se considera functia f:(1,+infinit)->R, f(x)=x/x-1 -ln x
a)Aratati ca functia f este strict descrescatoare
b)Aratati ca functia este convexa
c)Demonstrati ca functia f este ireversibila

Answer 1

Răspuns:

(x)=x/(x-1) -ln x

sau poate era x/(x-1-lnx)

sau x/(x) -1-lnx

ORDINEA OPERATIILOR!!!! TE ROG, EVIDENTIAZA NUMITORUL!!!!!

am facut  ce era mai probabil, cea ce nu mi se pre OK

a) da, este descrescatoare

b)DA, e convexa pe domeniul de definitie

c) "ireversibila"???

poate" irecuperabila"

ma refer la functia "text automat" "corector de text" care trebuiie dezactivat dac vrei sa ne putem intelege

Explicație pas cu pas:

f(x)=x/(x-1) -ln x= (x-1+1)/(x-1) -lnx= (x-1)/(x-1)+1/(x-1)-lnx= 1+1/(x-1)-lnx

f'(x)=0-1/(x-1)²-1/x= -(1/(x-1)²+1/x)=-(x+x²-2x+1)/(x-1)²=

= -(x²-x+1)/(x-1)²<0, ∀x ∈Domeniului, pt ca ambele functiide grad 2sunt>0 si avem un  '- " in fata linieide fractie

deci f(x) descrescatoare

b) f;'(x) =(f'(x))'=

(-(1/(x-1)²-1/x))' =2/(x-1)³+1/x²>0 , ∀x>1, deci CONVEXA

c) cf b, monotona, deci INJECTIVA

lim cand x->1 si x>1 din f(x) = 1/+0=ln1= ∞-0=∞

lim cand x->∞  din f(x) =1-ln∞=1-∞=-∞

deci SURJECTIVA pe R

injectiva si surjectiva, deci bijectiva, deci INVERSABILA,

nu IRECUPERABILA sau IREVERENTIOSA sau what ever