Question

Se considera functia f: (-3, +∞) ---> R, f(x)=$\frac{e^{x} }{x+3}$
Aratati ca f$(\frac{-1}{2019} )$ + f$(\frac{1}{2021})$ > $\frac{2}{e^{2} }$

Va rog frumos sa ma ajutati!!!!

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Obs 1:  $f(x)$  este mereu pozitiva

Obs 2: $f(0)=\frac{1}{3}$

Comparam si $\frac{2}{e^2}$ si $f(0)=\frac{1}{3}$

$e > 2.5 => e^2>6.25>6 => \frac{2}{e^2} < \frac{1}{3} = f(0)$

Derivata lui  $\frac{e^x}{x+3}$  este  $\frac{(x+2)e^x}{(x+3)^2}$  (folosim regula pentru derivata fractiei a doua functii si simplificam), fiind clar pozitiva nenula pentru $x\geq 0$.

Asta inseamna ca pt $x\geq 0$,  $\frac{e^x}{x+3}$  este strict crescatoare => pt oricare $x\geq 0$,

$f(x)\geq f(0)=\frac{1}{3}>\frac{2}{e^2}$.

Din toate astea => $f(\frac{-1}{2019})+f(\frac{1}{2021})>\frac{2}{e^2}$