Question

Se considera functia f:D->R, f(x) = ln(1+ x^{2}) -mx, m apartine lui R. Sa se afle valorile parametrului real m pentru care functia f este strict crescatoare pe D.

Answer 1

$f:D\rightarrow \mathbb_{R}, f(x) = \ln(1+ x^{2}) -mx\\ \\ f'(x) = \dfrac{(1+x^2)'}{1+x^2}-m \Rightarrow f'(x) = \dfrac{2x}{1+x^2}-m\\ \\ Functia este strict crescatoare pe \mathbb_{R} atunci cand f'(x) \ \textgreater \ 0\\ \\ \Rightarrow \dfrac{2x}{1+x^2}-m\ \textgreater \ 0 \Rightarrow \dfrac{2x-m\cdot(1+x^2)}{1+x^2}\ \textgreater \ 0 \Big|\cdot (1+x^2) \Rightarrow \\ \\ (putem inmulti toata expresia cu 1+x^2 deoarece e pozitiva oricare ar\\ fi x)\\ \Rightarrow 2x-m\cdot (1+x^2) \ \textgreater \ 0 \Rightarrow 2x-m-mx^2\ \textgreater \ 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow -mx^2+2x-m \ \textgreater \ 0 \Big|\cdot (-1) \Rightarrow mx^2-2x+m\ \textless \ 0\\ \\ Conditia este \Delta \ \textless \ 0 si a \ \textless \ 0. \\ \\ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta\ \textless \ 0 \\ a\ \textless \ 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 4-4m^2\ \textless \ 0 \\ m\ \textless \ 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 4\ \textless \ 4m^2 \\ m\ \textless \ 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 1\ \textless \ m^2 \\ m\ \textless \ 0 \end{array} \right \Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} m^2\ \textgreater \ 1 \\ m\ \textless \ 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} m \in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ m \in (-\infty,0) \end{array} \right| \Rightarrow \boxed{\boxed{m\in (-\infty, -1)}}$


[tex] $D este $ \mathbb_{R} $ deoarece conditia logaritmului este 1+x^2 \ \textgreater \ 0, $ adevarata \\ oricare ar fi x apartine lui $ \mathbb_{R}. [/tex]