Question

Se consideră funcția f: R --> R , f(x)=1/(x^2+1)
Trebuie sa calculez :

Answer 1

a)
[tex]f(x)= \frac{1}{x^2+1}\\\\ \int\limits^1_0 {xf(x)} \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{x}{x^2+1} } \, dx[/tex]

Pentru a calcula acestă integrală, trebuie să o modificăm astfel încât să ajungem la o formă cunoscută și anume:

$\int \frac{u'(x)}{u(x)}\, dx =ln|u(x)|$

În problema dată, 
$u(x)=x^2+1$

Pentru a aplica formula, avem nevoie la numărător de $(x^2+1)'=2x$, însă noi avem doar x.

Pentru a forma 2-ul, înmulțim integrala cu $\frac{2}{2} = \frac{1}{2} *2$ și îl introducem pe doi la numărător, pentru a aplica formula.

Adică:
$\int\limits^1_0 { \frac{x}{x^2+1} } \, dx=\frac{2}{2}*\int\limits^1_0 { \frac{x}{x^2+1} } \, dx=\frac{1}{2}*2*\int\limits^1_0 { \frac{x}{x^2+1} } \, dx=\frac{1}{2}*\int\limits^1_0 { \frac{2x}{x^2+1} }$

Acum că avem la numărător derivata numitorului, putem aplica formula.

Deci:
$\frac{1}{2}*\int\limits^1_0 { \frac{2x}{x^2+1} } = \frac{1}{2} ln(x^2+1)$ de la 0 la 1.

Adică
$\frac{1}{2}*\int\limits^1_0 { \frac{2x}{x^2+1} } =\frac{1}{2}ln(1^2+1)-\frac{1}{2}ln(0^2+1)= \frac{ln2}{2} -\frac{1}{2}*0=\frac{ln2}{2}$

b) $\int\limits^1_0 {xf'(x)} \, dx$ se calculează prin integrarea prin părți.

Formula de la integrarea prin părți este:
$\int p(x)*g'(x) \, dx =p(x)*g(x)-\int p'(x)*g(x)$

În cazul nostru, 
$p(x)=x, p'(x)=(x)'=1\\\\ iar\\\\ g'(x)=f'(x), g(x)=\int f'(x)=f(x)$

Acum că am identificat tot ce ne trebuie, înlocuim în formula integrării prin părți:

$\int\limits^1_0 {xf'(x)}=xf(x)-\int 1*f(x)=xf(x)-\int f(x)$

Vom lua separat integrala $\int f(x)$ pentru a o calcula.

$\int f(x)=\int \frac{1}{x^2+1}$

Pentru asta aplicăm formula:

$\int \frac{1}{x^2+a^2}= \frac{1}{a}arctg( \frac{x}{a})$

Înlocuind cu a=1, rezultă:

$\int \frac{1}{x^2+1}= \frac{1}{1} arctg( \frac{x}{1})=arctgx$

Deci:
$xf(x)-\int f(x)= \frac{x}{x^2+1} -arctgx$ de la 0 la 1.

Adică:
$\int\limits^1_0 {xf'(x)} =\frac{1}{1^2+1}arctg1- \frac{0}{0^2+1}arctg0$

De menționat că $arctg(1)= \frac{\pi}{4}$ iar $arctg(0)=0$.

Deci:
$\int\limits^1_0 {xf'(x)}=\frac{1}{2}* \frac{\pi}{4} - 0*0= \frac{\pi}{8}$