Question

Se considera functia: f: R -> R; f(x) = 2^x. Calculati suma: f(0) + f(-1) + f(-2) + ... + f(-n) + ... .

Answer 1

Vom avea $f(0)=2^0=1 , f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2},f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{2^2}$, termenul general al sumei care trebuie calculate fiind $f(-n)=2^{-n}=\frac{1}{2^n}$. Sa ne luam sirul:
$x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^n}$
Putem observa cu usurinta ca termenul general al acestui sir este suma:
$f(0)+f(-1)+f(-2)+\ldots + f(-n)$
Deci aflam suma dorita facand limita la infinit a acestui sir. Mai intai, putem observa ca sirul poate fi adus la o forma simpla, fiind suma termenilor unei progresii geometrice care are 1 ca prim termen si ratie $\frac{1}{2}$. Atunci:
$x_n=\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$
Se poate observa ca $(\frac{1}{2})^{n+1}$ tinde la zero, deci vom avea:
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\frac{1-0}{1-\frac{1}{2}}=2$
Deci, suma dorita este egala cu 2.