Question

Se considera functia f:R->R,f(x)=2x^3+3x^2+5
a) f'(x)=6x(x+1), x apartine R
b) calculati lim x->+infinit din f'(x)/f(x)-2x^3
c)Determnati intervalele de monotonie a functiei f

Answer 1

a)
f'(x)=(2x^3+3x^2+5)'=6x^2+6x=6x(x+1)

b)
lim x-> inf f'(x)/f(x)-2x^3= lim x->inf 6x^2+6x/3x^2+5=6/3=2 (limita ceruta fiind calculata la infinit si numaratorul si numitorul avand acelasi termen dominant, limita are valoarea raportului coeficientilor de rang dominant, adica x^2 in cazul de fata).

c) 
f'(x)=0 => 6x(x+1)=0
x1=0
x2=-1
Facem tabel de semn:
x |-infinit___________-1________________0_______________infinit
f' |+++++++++++++++0----------------------------0++++++++++++++++++
f |-inf   crescatoare f(-1)=6 descrescatoare  f(1)=5  crescatoare   infinit

lim x-> -inf f(x)=-infinit
lim x-> inf f(x)=infinit
f(-1)=2*(-1)^3+3*(-1)^2+5=-2+3+5=6
f(0)=2*0^3+3*0^2+5=5

Legat de monotonie:
Pe (-inf;-1)∪(0;inf), f este crescatoare.
Pe [-1;0], f este descrescatoare.