Question

Se considera functia f:R->R , f(x)= 2x+3. Calculati suma:
S= f(1)+ f(2)+f(3)+........+f(100)

Answer 1

Observăm că
$f(1) = 2 \times 1 + 3 \\ f(2) = 2 \times 2 + 3 \\ f(3) = 2 \times 3 + 3 \\ . \\ f(100) = 2 \times 100 + 3$
Când la adunăm pe toate obținem:
$f(1) + f(2) + ... + f(100) = 2 \times 1 + 3 + 2 \times 2 + 3 + 2 \times 3 + 3 + ... + 2 \times 100 + 3$
O să punem toți termenii cu 2 în față și lasăm 3-i "în spate", și cum avem 100 de 3:
$f(1) + f(2) + ... + f(100) = 2 + \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + ... + 2 \times 100 + 3 \times 100$
Îl dăm pe 2 factor comun.
$f(1) + f(2) + ... + f(100) = 2 \times (1 + 2 + ... + 100) + 3 \times 100$
Folosim formula:
$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}$
Pentru n=100.
Atunci
$1 + 2 + ... + 100 = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 101 \times 50 = 5050$
Înlocuim mai sus.
$f(1) + f(2) + ... + f(100) = 2 \times 5050 + 300$
$f(1) + f(2) + ... + f(100) = 10100 + 300 = 10400$