Question

Se considera functia f:R->R, f(x)=$e^{x}$-x.

Demonstrati ca dreapta y=(e-1)x este tangeta a graficului functiei

Answer 1

Răspuns:

Intersectia dintre dreapta y si curba f(x) se face intr-un singur punct

eˣ-x=(e-1)x

eˣ-x=ex-x

eˣ=ex

eˣ-ex=0

Notezi g(x)=eˣ-ex

calculezi g `(x) si determini semnul si eventualul punct de extrem

g `(x)=eˣ-e=0 eˣ=e=>x=1

Pt x>1 g `(x) este evident pozitiva

Pt x∈[0,1)

eˣ∈[1,e)=>eˣ-e<0 Dci x=1 este punct de extrem,Adica mai precis punct de minim

Ptx<0 g `(x)<0 pt ca eˣ∈(0,1) eˣ-e<0 ˣDeci functia e negativa pe pe x∈(-∞,0]

Asa dar x=1 singurul punct de minim ∀X>1 g(x).>g(1)=0DEci f(1)=0 soliutie unica a ecuatirie eˣ-ex=0

g(1)=e¹-e=0 Deci x=1 este singurul [unct comum dintre curba fsi dreapta d:y==(e-1)X deci dreapta d este tangenta la curba f

Explicație pas cu pas: