Question

Se considera functia f: R->R f(x)=$\frac{ e^{x}+ e^{-x} }{2}$
a)calculati $lim_{n \to \infty} \frac{x}{f(x)}$
b)demonstrati ca functia f este convexa pe R

Answer 1

limf(x)→∞  cand  x→∞
L=lim x/f(x)=∞/∞  cand x→∞
Suntem  in  conditiile  teoremei  lui  L` Hospital
L=lim (x) `/(f `(x)=1/[(e^x-e^(-x))/2=2/[e^∞-e^-∞]  ,   x→∞
e^∞→∞
e^-∞→0
L=2/∞=0
b)Calculezi  derivata  a  2
f `(x)=[e^x-e^(-x)]/2
f  ``(x)=[(e^x+e^x)]/2>0∀x∈R
Daca  derivata  a  2-a  este  strict  pozitiva  ,atunci  functia  este  convergenta