Question

Se considera functia f:R->R, f(x)=
x^{2} +3x-4. Determinati f([-2,3]) si f((-1,1]). Mi-ar fi de mare folos daca mi s-ar explica modul in care s-a ajuns la rezultat. Multumesc!

Answer 1

Salut,

 

Îţi propun o soluţie explicată în detaliu, te rog să o citeşti cu mare atenţie, cu creionul şi hârtia în faţă.

 

Imaginea funcţiei (cerinţa problemei) este de fapt un interval de valori pe axa OY, adică chiar valorile pe care le ia funcţia f(x), când x variază pe intervalul din enunţ.

 

Pentru a rezolva această problemă trebuie să ştii să trasezi graficul funcţiei de gradul al doilea din enunţ. Observăm că a = 1 > 0 (coeficientului lui x^2), deci graficul este o parabolă cu „braţele” în sus. Având în vedere că a > 0, valoarea de extrem a funcţiei este una minimă, egală cu –Delta/(4a), unde Delta =b^2-4ac (semnul ^  se referă la ridicarea la putere).

 

Pentru asta ai nevoie de cel puţin 3 puncte din cele 4 precizate mai jos:

 

- cele 2 soluţii ale ecuaţiei f(x)=0, dacă există, le notăm cu x1 şi x2. În acest caz x1=-4 şi x2=1 (te las pe tine să le afli, nu e deloc greu);

 

- vârful graficului (căreia îi corespunde valoarea minimă), adică punctul V de coordonate Xv şi Yv, unde Xv = -b/(2a) = -3/2, deci Xv = -3/2 şi Yv = -Delta/(4a) = -25/4;

 

- intersecţia graficului cu axa OY (axa verticală). Se obţine când x = 0, deci f(0)=0^2+3*0-4 = -4, deci punctul de intersecţie cu axa OY are coordonatele (0, -4).

 

Monotonia funcţiei de gradul al doilea în acest caz (a>0) spune că funcţia este descrescătoare pe intervalul (-oo, Xv), adică pe intervalul (-oo, -b/2a), adică pe intervalul (-oo, -3/2) şi funcţia este crescătoare pe intervalul (Xv, +oo), adică pe intervalul (-b/2a, +oo), adică pe intervalul (-3/2, +oo).

 

Deci avem aceste 4 puncte, avem mare nevoie de ele. Încearcă să trasezi graficul funcţiei, folosindu-te de toate cele de mai sus.

 

Să vedem imaginea funcţiei pe intervalul [-2, 3]: având în vedere cele de mai sus, funcţia descreşte pentru x de la -2 < Xv până la -3/2 = Xv, adică valoarea funcţiei descreşte de la valoarea f(2), până la f(Xv)=Yv, unde atinge valoarea minimă -25/4, apoi de la Xv = -3/2 valoarea funcţiei începe să crească, în punctul de la capătul intervalului (adică x=3) funcţia f(x) ia valoarea f(3) = 14.

 

Deci pentru x aparţinând intervalului [-2,3], funcţia f(x) acoperă intervalul [Yv, f(3)], adică f([-2,3])=[-25/4, +14]. Aceasta este soluţia. Fără grafic îţi va fi mai greu să o înţelegi, de aceea te-am rugat să desenezi graficul.

 

Te las pe tine să rezolvi problema pentru cealaltă cerinţă, adică f((-1,1]). Acum ai un exemplu super detaliat, nu se poate să nu reuşeşti singur(ă).

 

Atenţie mare: această rezolvare este valabilă numai pentru această funcţie, adică dacă de exemplu a < 0, situaţia se schimbă radical.

 

Green eyes.