Question

Se considera functia f:R->R , f(x) = x^2 / (x^2 + 4 ). Sa se calculeze imaginea functiei f, cu explicatie daca se poate va rog mult.

Answer 1

Metoda 1
Deoarece x²≥0 si x²+4≥0⇒f(x)≥0
Aratam ca f(x)<1⇔x²/(x²+4)-1<0⇔-4/(x²+4)<0(Adevarat)
Deoarece 0≤f(x)<1⇒ Imf=[0,1)

Metoda 2
Fie f(x)=y⇒x²/(x²+4)=y⇒x²=yx²+4y⇒(1-y)x²=4y⇒x²=4y/(1-y)≥0 

y    -∞                           0              1                   +∞
4y  --------------------------0++++++++++++++++++++
1-y+++++++++++++++++++++++0---------------------
4y(1-y) --------------------0+++++++|---------------------
y∈[0,1)=>Imf=[0,1)

Metoda 3
f'(x)=(8*x)/(x^2+4)^2

x     -∞                     0                                +∞
f(x)   1        desc      0      cresc                  1
 f'(x)---------------------0+++++++++++++ +++                             
limf(x) cand x->-infinit/+infinit=1
Imf=[0,1)