Question

Se considera functia f:R->R, f(x)=x∧2012+x∧2011+x²+x
a)Determinati primitiva F:R->R a functiei f care verifica relatia F(0) = 1
b) Calculati:$\int\limits^1_0 {\frac{f(x)}{x+1} } \, dx$

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a)

Datorita teoremei insumarii integralelor (ie. primitivelor), putem considera fiecare termen ca reprezentand o functie distincta.

Apoi, aplicam regula puterii pentru fiecare functie astfel obtinuta.

Avem:

$\int\ {x^{2012} } \, dx = \frac{x^{2013}}{2013}  \\\int\ {x^{2011} } \, dx  = \frac{x^{2012}}{2012}  \\\int\ {x^{2} } \, dx = \frac{x^{3}}{3} \\\int\ {x } \, dx = \frac{x^{2}}{2}$

$F(x) = \frac{x^{2013}}{2013} +   \frac{x^{2012}}{2012}  +\frac{x^{3}}{3} +\frac{x^{2}}{2} + C$

Dar pentru ca F(0)=1, insemna ca C = 1. Deci primitiva finala este:

$F(x) = \frac{x^{2013}}{2013} +   \frac{x^{2012}}{2012}  +\frac{x^{3}}{3} +\frac{x^{2}}{2} + 1$

b)

Editorul de formule e foarte prost, asa ca o sa scriu direct.

In primul rand, trebuie sa inlocuiesti f(x) cu f(x) pe care ti-l da problema la inceput. Apoi simplifici, astfel incat sa scapi de numitorul x+1. In cele din urma o sa ajungi cu x^2011 + x dx. Aflii primitiva acestuia, dupa cum am aratat la a).

Apoi calculezi integrala definita de la 0 la 1. Prima data inlocuiesti in primitiva obtinuta x-ul cu 1, apoi il inlocuiesti cu 0, iar rezultatele le scazi. Ar trebui sa obtii 1007/2012 - 0 = 1007/2012.