Question

Se considera functia f:R -> R , f(x)=x^3-2x^2+x-1 Sa se calculeze f'(x),x€R
Sa se rezolve ecuatia f'(x)-f''(x)=2
Sa se determine coordonatele functiei de pe graficul functiei in care tangenta la grafic are panta m=5
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

f:R -> R , f(x)=x^3-2x^2+x-1

f '(x)=(x³-2x²+x-1)'=3x²-4x+1.

f ''(x)=(3x²-4x+1)'=6x-4.

a) Sa se rezolve ecuatia f'(x)-f''(x)=2, ⇒3x²-4x+1-(6x-4)=2, ⇒3x²-4x+1-6x+4-2=0, ⇒3x²-10x+3=0, ecuatie gr2. Δ=(-10)²-4·3·3=100-36=84>0, deci

$x_{1}=\dfrac{10-\sqrt{64} }{2*3}=\dfrac{10-8}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\\x_{2}=\dfrac{10+\sqrt{64} }{2*3}=\dfrac{10+8}{6}=\dfrac{18}{6}=3.$

S={1/3; 3}.

b) Sa se determine coordonatele punctului de pe graficul functiei in care tangenta la grafic are panta m=5.

Atunci, f '(x)=5. ⇒3x²-4x+1=5, ⇒3x²-4x+1-5=0, ⇒3x²-4x-4=0, ecuatie gr2

Δ=(-4)²-4·3·(-4)=16+48=64>0, deci

x1=(4-8)/6=-4/6=-2/3 si x2=(4+8)/6=12/6=2.

Deci, exista 2 puncte pe graficul functiei f(x),  in care tangenta la grafic are panta m=5. Calculam ordonatele lor.

$pentru~x=-\frac{2}{3},~f( -\frac{2}{3})=(-\frac{2}{3})^{3}-2*(-\frac{2}{3})^{2}+(-\frac{2}{3})-1=-\frac{8}{27}-\frac{8}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{-8-24-18+27}{27}=-\frac{13}{27}.$

pentru x=2, f(2)=2³-2·2²+2-1=8-8+2-1=1.

Deci Punctele, cautate, de pe grafic sunt A(-2/3; -13/27) si B(2;1).