Question

Se consideră funcția: f: |R->|R, f(x)=x−√(x^2+1). Arătați că derivata funcției f este descrescătoare pe |R.

Answer 1

$f'(x)=x'- \frac{(x^2+1)'}{2 \sqrt{x^2+1} } =1- \frac{2x}{2 \sqrt{x^2}+1 } =1- \frac{x}{ \sqrt{ x^{2} +1} } \\ f''(x)=- \frac{x' \sqrt{x^2+1}-x*( \sqrt{x^2+1} )' }{ x^{2} +1} = \frac{- \sqrt{x^2+1}+x* \frac{2x}{2 \sqrt{x^2+1} } }{x^2+1} = \frac{- 2x^{2} -2+2 x^{2} }{2( x^{2} +1)* \sqrt{x^2}+1 } = \\ = \frac{-1}{2( x^{2} +1)* \sqrt{x^2+1} }$
f'' este negativ deci derivata este o functie descrescatoare