Question

Se considera functia f:R->R , $f(x)= \lim_{n \to \infty} \frac{|x-1|e^{nx}+a(x+1)^{2}e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx} }$

a) determinati functia f pt x<0
b) determinati functia f pentru x>0 $f(x)= \lim_{n \to \infty} \frac{|x-1|e^{nx}+a(x+1)^{2}e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx} }$

Answer 1

Putem observa ca pentru calculul limitei, ne intereseaza doar exponentialele $e^{nx}$ si $e^{-nx}$, intrucat doar acolo este implicat n. Pentru cazul in care x este negativ, prima tinde la zero (deoarece exponentul sau va fi negativ), iar cea de-a doua la infinit (deoarece exponentul sau va fi pozitiv), ceea ce inseamna ca in acest caz vom da factor comun si vom simplifica prin $e^{-nx}$ pentru a scapa de infinit, iar cand x este pozitiv, prima tinde la infinit, iar cea de-a doua la zero, deci vom da factor comun si vom simplifica prin $e^{nx}$ pentru a scapa de infinit. Spre exemplu, pentru cazul in care avem $x>0$:

$f(x)=lim_{n\to\infty}\frac{\mid x-1\mid e^{nx}+a(x+1)^2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}} \\ =lim_{n\to\infty}\frac{e^{nx}(\mid x-1 \mid +a(x+1)^2e^{-2nx})}{e^{nx}(1+e^{-2nx})}$

Putem observa ca se simplifica cele doua exponentiale si ramanem cu:$f(x)=lim_{n\to\infty}\frac{\mid x-1 \mid + a(x+1)^2e^{-2nx}}{1+e^{-2nx}}$
Cum exponentiala ramasa va tinde la zero, calculam limita si ne ramane functia:$f(x)=\frac{\mid x-1 \mid + a(x+1)^2 * 0}{1+0}=\mid x-1 \mid$
Punctul urmator se rezolva asemanator, dar dand factor comun cealalta exponentiala, intrucat aceea va tinde la infinit in cazul urmator:
[tex]f(x)=lim_{n\to\infty}\frac{\mid x-1 \mid e^{nx} + a(x+1)^2 e^{-nx}}{e^{nx} + e^{-nx}} \\ =\lim_{n\to\infty}\frac{e^{-nx}(\mid x-1 \mid e^{2nx} + a(x+1)^2)}{e^{-nx}(e^{2nx} + 1)}[/tex]
Prin simplificare ne ramane:
$f(x)=lim_{n\to\infty}\frac{\mid x-1 \mid e^{2nx} + a(x+1)^2}{e^{2nx} + 1}$
Cum exponentiala ramasa tinde la zero, calculam limita si ne ramane:
$f(x) = \frac{\mid x-1 \mid * 0 + a(x+1)^2}{0 + 1}=a(x+1)^2$
In concluzie, avem:
1) pentru $x\ \textless \ 0$ $f(x) = a(x+1)^2$
2) pentru $x\ \textgreater \ 0$ $f(x)=\mid x-1 \mid$