Question

Se considera functia f:R⇒R
f(x) $\left \{ {{{e^{x+1},x \leq-1} \atop {2+x,x\ \textgreater \ -1}} \right.$
Sa se arate ca f admite primitive pe R si sa se determine o primitiva F cu proprietatea
ca F(2)=$\frac{3}{2}$

Answer 1

O functie     admite  primitive      pe     un     interval,  daca     si   numai     daca

e continua      pe      acel interval.Problrma continuitatiii se pune    in x=-1

Ls:x--> -1, x<-1 limf(x)=lime^(x+1=e^(-1+1)=e^0=1

Ld: x-->-1   x> -1 limf(x)=lim(2+x)=lim(2-1)=1

f(-1)=e^(-1+1)=e^0=1

Ls=Ld=f(-1)=1   Functia este     continua pe  R deci    admite     primitive

Deoarece 2>-1    calculam     primitiva pe    ramura     de jos    a     functiei

F(x)=∫f(x)dx=∫(2+x)dx=∫2dx+∫xdx=2x+x²/2+C

F(2)=2*2+2²/2+C=3/2

4+4/2+C=3/2

Aduci la     acelasi   numitor

2*4+4+2c=3

12+2c=3

2c=3-12

2C=-9

C=-9/2

F(x)=2x+x²/2-9/2