Question

Se considera functia f: R--R ,f (x)= x³+2x²+x.
a) Aratati ca f '(x)= ( x+ 1) ( 3x+ 1 ), x ∈ R.
b) Aratati ca $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x f '(x)}= \frac{1}{3}.$.
c) Demonstrati ca f ( x ) ≥ $-\frac {4}{27}$, pentru orice x ∈ [-1 , +∞ ).

Answer 1

...............................

Answer 2

f(x) = x³ + 2x² + x

a) f'(x) = 3x² + 4x + 1 = 3x² + 3x + x + 1 = 3x(x + 1) + (x +1) = (x + 1)(3x+1)

b) [tex]\it \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{x^3+2x^2+x}{x (3x^2+4x+1)} = \\\;\\ \\\;\\ = \lim_{x\to\infty} \dfrac{ x(x^2+2x+1)}{x (3x^2+4x+1)} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{x^2+2x+1}{3x^2+4x+1} = \dfrac{1}{3} [/tex]

c) f'(x) = 3x² + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1)

f'(x) = 0 ⇒  x₁ = -1,   x₂ = -1/3

Din tabelul de variație a funcției ⇒ x= -1/3 este punct de minim absolut

pe intervalul [-1,  ∞), iar f(-1/3) = -4/27) ⇒ f(x) ≥ -4/27,  ∀ x∈[-1,  ∞)