Question

Se considera functia f(x)=2x-1/ax^2+bx stiind ca graficul functiei f are tangenta in punctul a(2,1) paralela cu a doua bisectoare a axelor de coordonate, sa se arate ca a4+3b=-1 ajutor

Answer 1

Aflam ecuatia tangentei in punctul A(2,1)

A(x₀,y₀)

y-y₀=f'(x₀)(x-x₀)

y-1=f'(2)(x-2)

Calculam f'(x):

$f'(x)=\frac{2(ax^2+bx)-(2x-1)(2ax+b)}{(ax^2+bx)^2} \\\\f'(2)=\frac{2(4a+2b)-3(4a+b)}{(4a+2b)^2} =\frac{-4a+b}{(4a+2b)^2}$

Ecuatia tangentei in A(2,1):

$y-1=\frac{-4a+b}{(4a+2b)^2} (x-2)\\\\y=\frac{-4a+b}{(4a+2b)^2} (x-2)+1$

Panta unei drepte de ecuatie ax+by+c

$m=-\frac{a}{b}$

In cazul nostru:

$m=\frac{4a-b}{(4a+2b)^2}$

Ecuatia dreptei pentru a doua bisectoare a axelor de coordonate:

y=-x

m=-1

Pentru ca dreptele sa fie paralele, pantele trebuie sa fie egale

$\frac{4a-b}{(4a+2b)^2}=-1$

Stim ca f(2)=1

$f(2)=\frac{3}{4a+2b}$

$\frac{3}{4a+2b} =1\\\\4a+2b=3$

$\frac{4a-b}{9} =-1$

4a-b=-9

4a+2b=3

Le scadem si obtinem:

-3b=-12

b=4

4a-4=-9

4a=-5

$a=-\frac{5}{4}$