Question

Se consideră funcția f(x) = 3+(x-3/e^x)

Demonstrați că x-3 < e^x-4, pentru orice număr real x

Answer 1

$x-3 \leq e^x-4\Rightarrow e^x-x-1 \geq 0$

Nu îmi place deloc funcția aia..

O să consider altă funcție.

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,f(x) = e^x-x-1\\ \\ f'(x) = e^x-1\\ f'(x) = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\\ \\ f'(-1) = e^{-1}-1 <0\\ f'(1) = e-1>0 \\ f(0) = 1-1 = 0\\ \\ \\\Rightarrow f(x) \text{ strict descrescatoare pe }(-\infty,0)\\ \Rightarrow f(x) \text{ strict crescatoare pe }(0,+\infty)$

$\Rightarrow f(x) \geq f(0) \Rightarrow f(x) \geq 0,\quad \forall x\in \mathbb{R} \\ \\ \Rightarrow e^x-x-1 \geq 0 \Rightarrow x + 1\leq e^x\Big|-4 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow \boxed{x-3 \leq e^x-4}\,,\quad \forall x\in \mathbb{R}$