Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2020}+1, x \in(0,1] \\ \frac{x+1}{x}, x \in(1,+\infty)\end{array}\right.$.
$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că funcția $f$ este continuă in $x_{0}=1$.
$5 p$ b) Determinați ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
$5 \mathbf{p}$ c) Demonstrați că funcția $f^{\prime}$ este crescătoare pe $(1,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2020}+1, x \in(0,1] \\ \frac{x+1}{x}, x \in(1,+\infty)\end{array}\right$

a)

Pentru ca o functie sa fie continua intr-un punct a, trebuie ca limita la stanga sa fie egala cu limita la dreapta si egala cu f(a)

$l_s=l_d=f(a)$

$l_s= \lim_{x \to 1 \\_{x < 1}} x^{2020}+1=1^{2020}+1=2$

$l_d= \lim_{x \to 1 \\_{x > 1}} \frac{x+1}{x} =\frac{1+1}{1}=2$

$f(1)=1^{2020}+1=2$

$l_s=l_d=f(1)$

⇒ functia f este continua in punctul 1

b)

Studiem limita catre +∞

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x} =\frac{\infty}{\infty}$

Aplicam L'Hopital, derivam numarator, derivam numitor si obtinem:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1)'}{x'} =\frac{1}{1} =1$

Dreapta de ecuatie y=1 este asimptota orizontala catre +∞ la graficul functiei f

c)

Studiem monotonia functiei f'

$f'(x)=(\frac{x+1}{x} )'=\frac{x-(x+1)}{x^2} =-\frac{1}{x^2}$

$f''(x)=(-\frac{1}{x^2} )'=-\frac{0-2x}{x^4} =\frac{2}{x^3}$

Pentru x∈(1,+∞)  $\frac{2}{x^3} > 0$ ⇒ f' este crescatoare pe (1,+∞)

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3464284

#BAC2022

#SPJ4