Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}$.

$5 p$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=1+\frac{1}{x^{2}}, x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

$5 p$ c) Demonstrați că funcția $f$ este concavă.

Answer 1

$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=\frac{2x^2-x^2+1}{x^2} =\frac{x^2+1}{x^2} =1+\frac{1}{x^2}$

b)

Ecuatia asimptotei oblice

y=mx+n

$m= \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-1}{x^2} =1$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

$n= \lim_{x\to+ \infty} f(x)-mx= \lim_{x\to+ \infty}\frac{x^2-1}{x} -x= \lim_{x\to+ \infty}\frac{x^2-1-x^2}{x} = \lim_{x\to+ \infty}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{\infty} =0$

Ecuatia asimptotei oblice spre +∞ este y=x

c)

Aflam derivata a doua

f''(x)=?

$f''(x)=0+\frac{0-2x}{x^4} =-\frac{2}{x^3} < 0,\ pentru\ x\in(0,+\infty)$

f este concava

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928437

#BAC2022

#SPJ4