Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-e \ln x$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{x-e}{x}, x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Demonstrați că graficul funcției $f$ nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuatie $y=x$.

$5 \mathbf{p}$ c) Demonstraţi că ecuația $e^{x}-x^{e}=0$ are exact o soluție în $(0,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=x-e \ln x$

a)

Folosim formula de derivare:

$(\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

$f'(x)=(x-e \ln x)'=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x}$

b)

Daca dreptele sunt paralele atunci pantele sunt egale

Fie tangenta la graficul functiei in punctul A(a,f(a))

y=x

m=1 (m-panta)

Daca pantele sunt egale atunci f'(a)=1

$f'(a)=\frac{a-e}{a} \\\\\frac{a-e}{a} =1$

a-e=a

e=0 Fals ⇒ graficul functiei f nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuatie y=x

c)

$e^x-x^e=0$

Facem monotonia

f'(x)=0

x-e=0

x=e

Facem tabel semn

x        0            e               +∞

f'(x)       - - - - - 0 + + + ++ +

f(x)        ↓       f(e)    ↑

                     0

f(x) este descrescatoare pe intervalul (0,e) si crescatoare pe intervalul (e,+∞) si f(e)=0 ⇒ ecuatia are o singura solutie in intervalul (0,+∞)

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2737885

#BAC2022

#SPJ4