Question

Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}$.

5p a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{-2\left(3 x^{2}-3 x+1\right)}{x^{3}(x-1)^{3}}, x \in(1,+\infty)$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A(0,3)$ şi este paralelă cu tangenta la graficul funcției $f$în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

$5 \mathbf{p}$ c) Calculați $\lim _{n \rightarrow+\infty}(f(2)+f(3)+\ldots+f(n))^{n^{2}}$.

Answer 1

$f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}$

a)

Ne folosim de formula:

$(\frac{f}{g} )'=\frac{f'\times g-f\times g'}{g^2}$

Calculam f'(x)

$f'(x)=(\frac{1}{(x-1)^{2}})'-(\frac{1}{x^{2}})'=\frac{1'\times(x-1)^2-((x-1)^2)'}{(x-1)^4} -\frac{1'\times x^2-(x^2)'}{x^4}$

$f'(x)=\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4} -\frac{-2x}{x^4} =\frac{-2}{(x-1)^3} +\frac{2}{x^3}$

Aducem la acelasi numitor, prima fractie o amplificam cu x³ si a doua cu (x-1)³ si vom avea aceeasi linie de fractie

$f'(x)=\frac{-2x^3+2(x-1)^3}{x^3(x-1)^3} =\frac{-2x^3+2x^3-6x^2+6x-2}{x^3(x-1)^3} =\frac{-6x^2+6x-2}{x^3(x-1)^3} =\frac{-2(3x^2-3x+1)}{x^3(x-1)^3}$

b) Ecuatia unei drepte care trece printr-un punct A

$y-y_A=m(x-x_A)$, unde m=panta dreptei

Daca 2 drepte sunt paralele atunci pantele vor fi egale

Panta dreptei care este paralela cu tangenta la graficul functiei f in punctul de abscisa x=2 este f'(2)

$f'(2)=\frac{-2(3\times 2^2-3\times 2+1)}{2^3(2-1)^3}=\frac{-14}{8} =-\frac{7}{4}$

Ecuatia dreptei va fi:

$y-3=-\frac{7}{4} (x-0)\\\\y-3=-\frac{7x}{4} \\\\y=-\frac{7x}{4}+3$

c) Ne folosim de limita remarcabila

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x} )^x=e$

Calculam f(2)+f(3)+...+f(n)

$f(2)+f(3)+...+f(n)=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9} +...+\frac{1}{(n-1)^2} -\frac{1}{n^2}$

Observam ca se reduc termenii si ne ramane:

$f(2)+f(3)+...+f(n)=1-\frac{1}{n^2}$

Calculam limita si obtinem:

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n^2} )^{n^2}= \lim_{n \to \infty} [(1+(-\frac{1}{n^2} )^-^{n^2}]^{-1}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3635705

#BAC2022