Question

Se consideră funcţia $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}$

$5 p$ a) Arătaţi că $\int_{0}^{1}(x+1) f(x) d x=2$.

$5 p$ b) Arătați că $\int_{0}^{1} f(x) d x=2-\ln 2$.

$5 p$ c) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int_{0}^{1} e^{x}(x+1)^{n}(f(x))^{n} d x$. Demonstrați că $I_{n}+2 n I_{n-1}=3^{n} e-1$, pentru orice număr natural $n, n \geq 2$.

Answer 1

$f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}$

a)

$\int_{0}^{1}(x+1) f(x) d x=\int_{0}^{1}(x+1)\times \frac{2x+1}{x+1} d x=\int_{0}^{1}(2x+1) d x\\\\\int_{0}^{1}(2x+1) d x=\int_{0}^{1}2x\ d x+\int_{0}^{1}1\ d x=\frac{2x^2}{2}\ |_0^1+x\ |_0^1=1+1=2$

Nota: am desfacut integrala in doua integrale si am aplicat formula din tabelul de integrale

b)

$\int\limits^1_0 {\frac{2x+1}{x+1} } \, dx$

Facem un artificiu de calcul, il scriem pe 1=2-1 si apoi dam factor comun pe 2 , desfacem fractia in doua fractii si obtinem:

$\int\limits^1_0 {\frac{2x+2-1}{x+1} } \, dx=\int\limits^1_0 {\frac{2(x+1)-1}{x+1} } \, dx=\int\limits^1_0 {\frac{2(x+1)}{x+1} } \, dx-\int\limits^1_0 {\frac{1}{x+1} } \, dx$

Il scriem pe 1=x'

$\int\limits^1_0 {\frac{2(x+1)}{x+1} } \, dx-\int\limits^1_0 {\frac{x'}{x+1} } \, dx=\int\limits^1_0 {2} \, dx -ln|x+1|\ |_0^1=2x\ |_0^1-ln2=2-ln2$

c)

$I_{n}=\int_{0}^{1} e^{x}(x+1)^{n}(f(x))^{n} d x$

$I_{n}=\int_{0}^{1} e^{x}(x+1)^{n}(\frac{2x+1}{x+1} )^{n}\ d x\\\\I_{n}=\int_{0}^{1} e^{x}(2x+1)^n\ d x$

Integram prin parti:

$f(x)=(2x+1)^n\ \ \ \ \ \ \ \ \ f'(x)=2n(2x+1)^{n-1}\\\\\\g'(x)=e^x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)=e^x$

$I_n=e^x(2x+1)^n\ |_0^1-2nI_{n-1}\\\\I_n=e\times 3^n-1-2nI_{n-1}$

De aici rezulta ca:

$I_n+2nI_{n-1}=3^n\times e-1$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4506298

#BAC2022