Question

Se consideră funcţia $f:(-5,5) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$.

$5 p$ a) Arătați că $\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=\frac{74}{3}$. $5 \mathbf{b} \quad$ b) Calculați $\int_{-3}^{3}|x f(x)| d x$

$5 p$ c) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{f^{n}(x)} d x$. Demonstraţi că şirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ este monoton.

Answer 1

$f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$

a)

$\int\limits^1_0 {25-x^2} \, dx =\int\limits^1_0 {25} \ dx -\int\limits^1_0 x^2} \ dx =25x\ |_0^1-\frac{x^3}{3}\ |_0^1=25-\frac{1}{3} =\frac{75-1}{3} =\frac{74}{3}$

Nota: am desfacut integrala in doua integrale, apoi folosim formula din tabelul de integrale (cel atasat)

b)

$\int_{-3}^{3}|x f(x)| d x=-\int_{-3}^{0}x f(x) d x+\int_{0}^{3}x f(x) d x$

$-\int_{-3}^{0}x f(x) d x+\int_{0}^{3}x f(x) d x=-\int_{-3}^{0}x \sqrt{25-x^2} d x+\int_{0}^{3}x \sqrt{25-x^2} d x$

Luam integrala separat si o calculam

$\int\limits x{\sqrt{25-x^2} } \, dx$

Ne folosim de tabelul de integrale compuse (atasat)

$\int\limits{\sqrt{u}\times u' } \, dx =\frac{2}{3} u\sqrt{u}$

In cazul nostru $u=\sqrt{25-x^2}$, atunci il scriem pe x ca fiind $\frac{-1}{2} (25-x^2)'$

$\int\limits x{\sqrt{25-x^2} } \, dx=-\frac{1}{2} \int\limits {(25-x^2)'} \sqrt{25-x^2} \, dx =-\frac{1}{2}\times\frac{2}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}=-\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}$

Ne intoarcem mai sus sa calculam integrala ceruta

$-\int_{-3}^{0}x \sqrt{25-x^2} d x+\int_{0}^{3}x \sqrt{25-x^2} d x=\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}\ |_{-3}^0-\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}\ |_0^3=$

$=\frac{1}{3} \times25\times\sqrt{25} -\frac{1}{3} \times16\times \sqrt{16} -(\frac{1}{3} \times16\times \sqrt{16} -\frac{1}{3} \times25\times\sqrt{25})=\\\\=\frac{125}{3} -\frac{64}{3} -\frac{64}{3}+\frac{125}{3}=\frac{122}{3}$

c)

$I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{f^{n}(x)} d x$

Pentru a face monotonia unui sir va trebui sa calculam $I_{n+1}-I_n$, daca acesta este >0, atunci sirul este crescator, iar daca este <0 este  descrescator

$I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} \frac{1}{(\sqrt{25-x^2})^{n+1} } } d x-\int_{0}^{1} \frac{1}{(\sqrt{25-x^2})^{n} } } d x$

$I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} \frac{1-\sqrt{25-x^2} }{(\sqrt{25-x^2})^{n+1} } } d x$

Pentru x∈[0,1] $1-\sqrt{25-x^2} < 0$

Pentru x∈[0,1] $\sqrt{25-x^2} > 0\ adica \ (\sqrt{25-x^2})^{n+1} > 0$

Din cele doua rezulta ca $I_{n+1}-I_n < 0$, adica sirul este descrescator

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4506298

#BAC2022