Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x^{2}+4 x+5}-x-2$.

$5 p$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4 x+5}}-1, x \in \mathbb{R}$.

$5 p$ b) Demonstrați că axa $O x$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcţiei $f$.

$5 p$ c) Demonstrați că imaginea funcției $f$ este intervalul $(0,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=\sqrt{x^{2}+4 x+5}-x-2$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+5} }-1=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5} } -1$

b)

Asimptota orizontala spre +∞

Calculam limita spre +∞

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+4x+5} -x-2= \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+4x+5} -(x+2)$

Facem conjugata si obtinem

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+4x+5} -(x+2)= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+4x+5-(x^2+4x+4)}{\sqrt{x^2+4x+5}+x+2 } =\\\\= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}+x+2 } =\frac{1}{\infty} =0$

c)

f'(x)=0

$(x+2)-\sqrt{x^2+4x+5} =0\\\\x+2=\sqrt{x^2+4x+5}\ \ |^2\\\\x^2+4x+4=x^2+4x+5\\\\4=5\ NU\\\\f'(x)\neq 0$

$f'(0)=\frac{2}{\sqrt{5} } -1 < 0$⇒f este descrescatoare

$\lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty\\\\ \lim_{x \to +\infty} f(x)=0$⇒Imaginea functiei f este (0,+∞)

Un alt exercitiu cu fuunctii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918951

#BAC2022

#SPJ4