Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $\int_{0}^{1}\left(x^{4}+1\right) f(x) d x=\frac{1}{3}$.

$5 p$

b) Demonstrați că $\int_{0}^{1} f(x) d x \leq \frac{\pi}{8}$.

$5 p$ c) Se consideră primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(1)=0$. Calculați $\int_{0}^{1} F(x) d x$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^1_0 {x^2} \, dx =\frac{x^3}{3} |_0^1=\frac{1}{3}-0= \frac{1}{3}$

b)

$\int\limits^1_0 {\frac{x^2}{x^4+1} } \, dx$

$x\in (0,+\infty)\\\\\int\limits^1_0 {\frac{x^2}{x^4+1} } \, dx\leq \int\limits^1_0 {\frac{x}{x^4+1} } \, dx$

$\int\limits^1_0 {\frac{x}{x^4+1} } \, dx$

Facem prin schimbare de variabila

$t=x^2\\\\dt=2xdx\\\\x=0\\ t=0\\\\x=1\\ t=1$

$\int\limits^1_0 {\frac{x}{x^4+1} } \, dx=\frac{1}{2} \int\limits^1_0\frac{1}{t^2+1} \ dt=\frac{1}{2} arctg\ t|_0^1=\frac{1}{2}(arctg1- arctg0)=\frac{\pi}{8}$

c)

Primitiva lui f este F

F'(x)=f(x)

F(1)=0

$\int\limits^1_0 {F(x)} \, dx$

Integram prin parti:

$f=F(x)\ \ \ f'=f(x)\\\\g'=1\ \ \ \ g=x$

$\int\limits^1_0 {F(x)} \, dx=xF(x)|_0^1-\int\limits^1_0xf(x)\ dx=F(1)-\int\limits^1_0\frac{x^3}{x^4+1} \ dx=0-\frac{1}{4}ln(x^4+1)|_0^1=-\frac{1}{4}ln2$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919077

#BAC2022

#SPJ4